Tenés planteado casi exactamente el mismo problema en la guía de ejercicios de gravitación, acá.

No importa el signo ni la intensidad de la tercera carga, el resultado es el mismo e independiente de esto. Pensemos la cuestión cualitativamente como para calentar las neuronas; después hacemos el planteo formal.

Supongamos que se trata de una carga positiva. Si la colocamos a la izquierda de A sería rechazada por ambas cargas fijas que la empujarían -ambas- hacia el mismo lado, hacia la izquierda: por ese lado no puede encontrar nunca el equilibrio. Vayamos del otro lado: a la derecha de E; le ocurriría lo mismo: no podría hallar el equilibrio. No le cabe otra alternativa que quedar intercalada entre las cargas fijas. En ese barrio va a estar rechazada por la fija en A hacia la derecha, y rechazada también por la fija en E hacia la izquierda. Si el rechazo con cada carga tiene la misma intensidad puede encontrar el equilibrio (inestable -por cierto- pero equilibrio al fin).

De modo que la condición de equilibrio de la tercera carga (Q) se hallará cuando la fuerza electrostática que le produce la fija en A (a esa la voy a llamar F_A) sea igual -en módulo- a la que le produce la fija en E (que llamaré F_E).

Tomemos un sistema de referencia de posiciones con el 0 en A y sentido de aumento hacia B. LLamemos d a la distancia que separa las cargas fijas, entonces:

F_A = F_E

luego, según la Ley de Coulomb

k . Q . 2 mC / x² = k . Q . 4 mC / (d — x)²

2 / x² = 4 / (d — x)²

(d — x)² = 2 x²

d² — 2dx + x ² = 2 x²

d² — 2dx — x ² = 0

Ahora basta con hallar la solución de esta ecuación cuadrática para encontrar la posición de equilibrio que estamos buscando. ¿Te acordás cómo se hacía? Los coeficientes de la ecuación son:

a = —1              b = — 2d               c = d²

Y para resolver la cuadrática usamos la formulita de los griegos:

Reemplazando:

x_1,2 = (2d ± ( 4d² + 4d²)^½) / —2

x_1,2 = (2d ± ( 8d²)^½) / —2

x_1,2 = d ± 1,41 d

x₁ = 2,41 d

esta solución está descartada, es una posición a la derecha de E;

x₂ = 0,41 d

Esta es la nuestra.

b) entre B y C

Mi compañero Jorge Sztrajman me planteó la siguiente resolución del ejercicio en la que haciendo razonamientos puros y sin necesidad de grandes cálculos llega -por supuesto- al mismo resultado.

Como las cargas son del mismo signo, el equilibrio se logra en el espacio entre ellas, con lo cual se descartan dos opciones. Además debe estar más cerca de la carga menor. Las dos que quedan: a) entre A y B y b) entre B y C. En otras palabras: lo que hay que decidir es si la carga se pone a la izquierda o la derecha de B.

Para eso se comparan las fuerzas justo en B (supongamos, para simplificar que cada segmento vale 1). La carga de la izquierda hace una fuerza que es proporcional a (2/1)² = 2, mientras que la de la derecha (4/3)² = 0,44...

Entonces, hay que correrla un poco para la derecha, para equilibrar las fuerzas; es decir que la respuesta debe ser:

b) entre B y C

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Última actualización dic-07. Buenos Aires, Argentina.