NO ME SALEN
APUNTES TEÓRICOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
Centro de masa

 

CENTRO DE MASA

Los cuerpos reales ya sean chicos o grandes tienen su masa distribuida en un volumen. Sin embargo en muchos aspectos se comportan como si toda la masa corporal estuviese reunida en un punto. Esa posición es el centro de masa, G, y se trata de un concepto bastante intuitivo, la gente de a pie acierta sin esfuerzo a predecir la posición del centro de masa, xG, de variados cuerpos.

   

Habrás notado que el centro de masa es una posición que no necesariamente pertenece al cuerpo, sino que puede estar afuera de él, por ejemplo en el caso del anillo, la esfera hueca, una silla, etc.

Existe un método analítico para hallar el centro de masa y para que lo entiendas lo voy a desarrollar partiendo de una situación muy sencilla. Sea un cuerpo (más propiamente dicho: un sistema de masas) integrado por dos masas puntuales idénticas. ¿Dónde se halla el centro de masa?

   
   

Correcto: en el medio de ambas posiciones. Y ese medio lo hallamos promediando las posiciones:

xG = ( x1 + x2 ) / 2

Ahora supongamos que una de las masa es más grande que la otra. ¿Dónde se hallará ahora el centro de masa? No es difícil predecirlo: sobre la recta que une las dos masas y más cerca de la masa mayor. ¿Pero exactamente dónde?

   
   

La expresión que lo indica se llama promedio ponderado ("pesa" más la posición de la porción más pesada). Es ésta:

xG = ( m1 x1 + m2 x2 ) / m1 + m2

xG = ( m1 x1 + m2 x2 ) / M

Donde M es la masa total del sistema, o sea, la suma de las dos porciones de masa distribuidas por el volumen del sistema. Aunque te cueste creerlo esa posición no depende del sistema de referencia que se te ocurra usar.

Si queremos generalizarla para un número cualquiera de corpúsculos discretos:

xG = ( m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + ... + mi xi ) / M

Nuevamente, M es la masa total del cuerpo. Podríamos resumirlo de esta manera:

 
No me salen no hace desarrollos teóricos... pero la fórmula del promedio ponderado es tan sencilla que podés tratar de deducirla sin ayuda; el único principio físico que se necesita conocer es que la masa es una magnitud aditiva.

 

   
 

xG = ( Σ mi xi ) / M

 
   

El resto es simple. Si la masa de un cuerpo se halla distribuida sobre una superficie hallaremos las coordenadas del centro de masa, xG e yG, operando de la misma manera que antes pero por separado para cada eje.

   

Entonces haremos:

xG = Σ mi xi / M

yG = Σ mi yi / M

Y si el sistema de distribución de masa ocupara un volumen tridimensional, como todo cuerpo de verdad, entonces procederemos de la misma manera en un sistema de referencia volumétrico, tridimensional, de 3 ejes. Entonces haremos:

xG = mi xi ) / M

yG = mi yi ) / M

zG = mi zi ) / M

   

Tal vez hayas objetado: qué clase de cuerpos son éstos cuyas partes masivas se encuentran separadas... no es una mala objeción. La respuesta es la siguiente: la naturaleza de la materia es corpuscular; por más compacto que te parezca un cuerpo, está hecho principalmente por espacio vacío, su masa está concentrada en partículas que se hallan muy separadas unas de otras. Si no fuese por las fuerzas de atracción y repulsión que se establecen entre éstas partículas los cuerpos podrían traspasarse limpiamente unos a otros y la probabilidad de choque entre partículas sería muy remota. Podríamos atravesar paredes, ingresar a las cajas fuertes de los bancos... eso sí, sería casi imposible hacer el amor.

Por otro lado, la idea de cuerpos con su masa concentrada en porciones separadas, nos ofrece un método práctico para hallar el centro de masa de cuerpos no geométricos, o no uniformes. El método consiste en seccionar el cuerpo (mentalmente) en porciones cuyas masas sean fáciles de calcular y cuyos centros de masa (de la porción) fácil de determinar. Luego el cuerpo queda idealmente constituido por un conjunto discreto y manejable de porciones de masa puntuales... su ruta.

 
Si el núcleo de un átomo (que reúne el 99% de toda la masa) tuviese el tamaño de una pelota de fútbol, lo electrones tendrían el tamaño de granitos de arena y andarían dando vueltas a cientos de metros de la pelota.

 

   
CHISMES IMPORTANTES:    
  • El asunto más difícil de defender en la Ley de Gravitación Universal, para Newton, era que un cuerpo celeste cualquiera (la Luna, la Tierra...) se comportaba como si toda su masa estuviese reunida en un punto (el centro de masa). Para resolver el problema... inventó el análisis matemático (¡qué hdp!).
  • El centro de masa tiene muchas propiedades notables. Por ejemplo, los equilibrios de cuerpos apoyados se resuelven y plantean teniendo en cuenta el centro de masa: un cuerpo está en equilibrio si su centro de masa se halla sobre una vertical que pase por el área de sustentación (de apoyo).
  • Otra propiedad notable es que las fuerzas aplicadas en la dirección que contiene el centro de masa no produce rotación en el cuerpo.
  • Los "sistemas de partículas" (una galaxia, un sistema planetario, los fragmentos de una explosión, por ejemplo) son complicadísimos de describir o plantear o resolver si pretendemos analizarlo como la superposición de la dinámica de cada partícula... pero si en lugar de poner el ojo sobre cada partícula ponemos el ojo sobre el centro de masa del sistema... su descripción se torna asombrosamente simple.
   
PREGUNTAS CAPCIOSAS:  
  • ¿Cuál es la diferencia entre centro de masa y centro de gravedad?
  • ¿Puede ser que baricentro sea lo mismo que centro de masa? ¿Son sinónimos? ¿Cómo se obtiene el baricentro de un triángulo?
 
   
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